בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – שאלה 6חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 43
בגרות 571 · קיץ 2023 מועד מיוחד · שאלה 6
שיעור 43 – בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – שאלה 6
פרק 4 – 10 בגרויות 571: חקירת פונקציה טריגונומטרית
1נוסח השאלה
2סעיף א (1) – זוגיות
3סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים
4סעיף א (3) – נקודות הקיצון
5סעיף א (4) – סקיצה של f
6סעיף ב (1) – תחום ההגדרה של g
7סעיף ב (2) – נקודת הקיצון של g
8סעיף ב (3) – סקיצה של g
9סעיף ג – המרחק המינימלי
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = sin(x) · cos3(x) המוגדרת בתחום −π2 ≤ x ≤ π2 .
א. (1) האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו.
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
נתונה הפונקציה g(x) = 1√f(x) .
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) .
(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x) .
(3) סרטטו (בקו מקווקו) סקיצה של גרף הפונקציה g(x) באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקציה f(x) .
(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x) .
(3) סרטטו (בקו מקווקו) סקיצה של גרף הפונקציה g(x) באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקציה f(x) .
ענו על סעיף ג בעבור התחום שבו מוגדרות שתי הפונקציות f(x) ו־g(x) .
ג. מצאו את המרחק המינימלי בין הפונקציות f(x) ו־g(x) .
סעיף א (1) – זוגיות
התחום −π2 ≤ x ≤ π2 סימטרי סביב 0. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = sin x · cos3x
נציב −x במקום x :
f(−x) = sin(−x) · cos3(−x)
sin(−x) = −sin x
📐 זווית נגדית
f(−x) = −sin x · cos3x
📐 זווית נגדית
sin(−x) = −sin x
cos(−x) = cos x
cos(−x) = cos x
סעיף א (1) – זוגיות · המשך
f(−x) = −sin x · cos3x
f(−x) = −f(x)
קיבלנו f(−x) = −f(x) , ולכן הפונקציה אי־זוגית.
📐 פונקציה אי־זוגית
✅ פתרון סופי: הפונקציה אי־זוגית
📐 פונקציה אי־זוגית
f(−x) = −f(x)
סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
f(0) = sin 0 · cos30
f(0) = 0 · 1 = 0
חיתוך עם ציר ה־x (f(x) = 0):
sin x · cos3x = 0
📐 מכפלה שווה 0
sin x = 0 : בתחום, x = 0 .
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים · המשך
sin x = 0 : בתחום, x = 0 .
cos x = 0 : בתחום, x = ±π2 .
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (π2 , 0) , (−π2 , 0)
סעיף א (3) – נקודות הקיצון
נגזור לפי כלל המכפלה, עם u = sin x ו־v = cos3x :
u′ = cos x
📐 נגזרת של סינוס
v′ = 3cos2x · (−sin x)
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
f′(x) = u′ · v + u · v′
📐 נגזרת של מכפלה
u′ · v = cos x · cos3x = cos4x
u · v′ = −3sin2x cos2x
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
📐 נגזרת של מכפלה
(u · v)′ = u′ · v + u · v′
סעיף א (3) – נקודות הקיצון · המשך
u · v′ = −3sin2x cos2x
f′(x) = cos4x − 3sin2x cos2x
נוציא גורם משותף cos2x :
f′(x) = cos2x (cos2x − 3sin2x)
משווים ל־0:
cos2x (cos2x − 3sin2x) = 0
📐 מכפלה שווה 0
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף א (3) – נקודות הקיצון · המשך
cos2x (cos2x − 3sin2x) = 0
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: cos x = 0 , כלומר x = ±π2 – אלה קצות התחום.
אפשרות 2:
cos2x = 3sin2x
כדי לקבל פונקציה אחת (tan x), נחלק ב־cos2x (בתוך התחום cos x ≠ 0):
1 = 3tan2x
📐 טנגנס
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 טנגנס
tan x = sin xcos x
סעיף א (3) – נקודות הקיצון · המשך
1 = 3tan2x
📐 טנגנס
tan2x = 13
tan x = 1√3 או tan x = −1√3
x = π6 + πk
📐 פתרון המשוואה tan x = tan a
הזווית שהטנגנס שלה 1√3 היא π6 . בתחום −π2 < x < π2 :
x = π6 , x = −π6
📐 טנגנס
tan x = sin xcos x
📐 פתרון המשוואה tan x = tan a
x = a + πk
סעיף א (3) – נקודות הקיצון · המשך
x = π6 , x = −π6
קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל קטע:
f′(−π3) = 14 · (14 − 94)
f′(−π3) = −12 < 0
f′(0) = 1 · (1 − 0) = 1 > 0
f′(π3) = 14 · (14 − 94)
סעיף א (3) – נקודות הקיצון · המשך
f′(π3) = 14 · (14 − 94)
f′(π3) = −12 < 0
שיעור ה־y – נכתוב את הפונקציה:
f(x) = sin x · cos3x
נציב x = π6 :
סעיף א (3) – נקודות הקיצון · המשך
נציב x = π6 :
f(π6) = sin π6 · cos3π6
sin π6 = 12 , cos π6 = √32
📐 ערכים מיוחדים
f(π6) = 12 · (√32)3
f(π6) = 12 · 3√38
f(π6) = 3√316 ≈ 0.32
📐 ערכים מיוחדים
sin π6 = 12
cos π6 = √32
cos π6 = √32
סעיף א (3) – נקודות הקיצון · המשך
f(π6) = 3√316 ≈ 0.32
הפונקציה אי־זוגית, ולכן:
f(−π6) = −3√316 ≈ −0.32
בקצוות (סעיף א(2)): f(±π2) = 0 .
✅ פתרון סופי:
מקסימום (π6 , 3√316)
מינימום (−π6 , −3√316)
מקסימום קצה (−π2 , 0)
מינימום קצה (π2 , 0)
מקסימום (π6 , 3√316)
מינימום (−π6 , −3√316)
מקסימום קצה (−π2 , 0)
מינימום קצה (π2 , 0)
סעיף א (4) – סקיצה של f
מה אנחנו יודעים:
• הגרף יוצא מ־(−π2 , 0) , יורד למינימום (−π6 , −0.32) .
• עולה דרך הראשית עד המקסימום (π6 , 0.32) , ויורד אל (π2 , 0) .
• הגרף סימטרי ביחס לראשית (אי־זוגית).
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ב (1) – תחום ההגדרה של g
יש שורש במכנה. הביטוי בתוך השורש לא שלילי, והמכנה לא 0 – לכן הביטוי חיובי:
f(x) > 0
📐 שורש במכנה
sin x · cos3x > 0
בתחום −π2 < x < π2 הקוסינוס חיובי, ולכן גם cos3x > 0 . נשאר sin x > 0 , כלומר x > 0 . רואים את זה גם בסקיצה: הגרף מעל ציר ה־x רק בין 0 ל־π2 .
0 < x < π2
📐 שורש במכנה
1√u מוגדר כאשר u > 0
סעיף ב (1) – תחום ההגדרה של g · המשך
0 < x < π2
✅ פתרון סופי: 0 < x < π2
סעיף ב (2) – נקודת הקיצון של g
בלי לגזור – קוראים מהגרף של f (סעיף א(4)) בתחום 0 < x < π2 :
• f עולה מ־0 עד המקסימום ב־x = π6 , ואחר כך יורדת חזרה ל־0.
g = 1√f
📐 הפונקציה 1 חלקי שורש
• לכן g יורדת בין 0 ל־π6 , ועולה בין π6 ל־π2 : במקום שבו ל־f יש מקסימום, ל־g יש מינימום.
נכתוב את g :
g(x) = 1√f(x)
📐 הפונקציה 1 חלקי שורש
כש־f > 0 גדלה, √f גדל, ולכן 1√f קטנה (ולהפך)
סעיף ב (2) – נקודת הקיצון של g · המשך
g(x) = 1√f(x)
נציב את הערך המקסימלי של f (סעיף א(3)):
f(π6) = 3√316
g(π6) = 1√3√316
√3√316 = √(3√3)4
g(π6) = 4√(3√3) ≈ 1.75
סעיף ב (2) – נקודת הקיצון של g · המשך
g(π6) = 4√(3√3) ≈ 1.75
✅ פתרון סופי:
מינימום (π6 , 4√(3√3))
כלומר (π6 , 1.75)
מינימום (π6 , 4√(3√3))
כלומר (π6 , 1.75)
סעיף ב (3) – סקיצה של g
כאשר x מתקרב ל־0 או ל־π2 בתוך התחום, f(x) מתקרב ל־0 מלמעלה, ולכן g(x) → +∞ . הישרים x = 0 ו־x = π2 הם אסימפטוטות אנכיות של g .
הגרף של g (סגול מקווקו) יורד מ־+∞ למינימום (π6 , 1.75) ועולה שוב ל־+∞ . הגרף של f בכחול:
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ג – המרחק המינימלי
בתחום 0 < x < π2 הגרף של g מעל הגרף של f (הערך הקטן ביותר של g הוא 1.75, והגדול ביותר של f הוא 0.32). המרחק האנכי בין הגרפים:
d(x) = g(x) − f(x)
ב־x = π6 יש ל־g מינימום ול־f מקסימום באותו x . לכן לכל x בתחום:
g(x) ≥ g(π6) , f(x) ≤ f(π6)
d(x) ≥ g(π6) − f(π6)
המרחק הכי קטן מתקבל ב־x = π6 . נכתוב:
סעיף ג – המרחק המינימלי · המשך
המרחק הכי קטן מתקבל ב־x = π6 . נכתוב:
d(π6) = g(π6) − f(π6)
נציב את הערכים מסעיפים א(3) ו־ב(2):
d(π6) = 4√(3√3) − 3√316
d(π6) ≈ 1.7548 − 0.3248
d(π6) ≈ 1.43
סעיף ג – המרחק המינימלי · המשך
d(π6) ≈ 1.43
✅ פתרון סופי: d ≈ 1.43
📌 סיכום התשובות
סעיף א (1)
אי־זוגית
סעיף א (2)
(0 , 0) , (±π2 , 0)
סעיף א (3)
מקס. (π6 , 3√316)
מינ. (−π6 , −3√316)
מקס. קצה (−π2 , 0)
מינ. קצה (π2 , 0)
מינ. (−π6 , −3√316)
מקס. קצה (−π2 , 0)
מינ. קצה (π2 , 0)
סעיף א (4)
סקיצה
סעיף ב (1)
0 < x < π2
סעיף ב (2)
מינימום (π6 , 1.75)
סעיף ב (3)
סקיצה
סעיף ג
≈ 1.43
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא